Задача на дроби

admin — Wed, 25 Dec 2024 10:44:07 +0000

Вот задача, которую мы разбирали с 5-классником.
Часть 1. Берём три числа: 47, 48, 49.
Какая дробь больше 47/48 или 48/49?
Распишем первую так: 47/48 = (47*49)/(48*49).
Преобразуем вторую дробь таким образом:
48/49 = (48*48)/(49*48) = [(47+1) * (49-1)] / (49*48) = (47*49 – 47 + 49 – 1)/(49*48) = (47*49 +1)/(49*48) = (47*49)/(49*48) + 1/(49*48).
Что имеем? Имеем, что вторая дробь больше первой на величину 1/(49*48).
Проверим на калькуляторе:
47/48 = 0,9791… 48/49 = 0,9795… – так и есть, вторая дробь больше
на величину 1/(49*48) = 0,0004251….

Часть 2. Обобщим задачу. Теперь у нас три натуральных числа: n-1,n,n+1.
Уже нам понятно: величина n/(n+1) растёт при n →∞
(n-1)/n < n/(n+1) < (n+1)/(n+2) < (n+2)/(n+3)... и так далее.
Применим калькулятор:
При n=100 имеем: 100/101 = 0,990099….
При n=1000 имеем: 1000/1001 = 0,9990000999….
Дроби растут, они всё ближе и ближе к 1,0.

Часть 3. Делаем ещё шаг обобщения, переходим от натуральных чисел к вещественным, от формул к функциям:
у(х) = (х-1)/х = 1 – 1/х, рассматриваем только случай х>0.
Нарисуем то, что нам теперь более-менее понятно:

Часть 4. Каков смысл того, что мы сегодня рассмотрели? Всякое число это точка в пространстве, а точка – часть линии, часть процесса. И многие процессы бесконечны. Но формулы укрощают бесконечное. Математика – узда для многого из того, что неясно и непонятно!

**********Декабрь 2024г.***********

» числа

Задача на дроби