Часть 2. Обобщим задачу. Теперь у нас три натуральных числа: n-1,n,n+1.
Уже нам понятно: величина n/(n+1) растёт при n →∞
(n-1)/n < n/(n+1) < (n+1)/(n+2) < (n+2)/(n+3)... и так далее.
Применим калькулятор:
При n=100 имеем: 100/101 = 0,990099….
При n=1000 имеем: 1000/1001 = 0,9990000999….
Дроби растут, они всё ближе и ближе к 1,0.

Часть 3. Делаем ещё шаг обобщения, переходим от натуральных чисел к вещественным, от формул к функциям:
у(х) = (х-1)/х = 1 – 1/х, рассматриваем только случай х>0.
Нарисуем то, что нам теперь более-менее понятно:

Часть 4. Каков смысл того, что мы сегодня рассмотрели? Всякое число это точка в пространстве, а точка – часть линии, часть процесса. И многие процессы бесконечны. Но формулы укрощают бесконечное. Математика – узда для многого из того, что неясно и непонятно!

**********Декабрь 2024г.***********

Муж выпивает бочонок кваса за 14 дней, вдвоём с женой они выпивают этот же бочонок за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпьет бочонок кваса.

Решение старинной задачи с дробями

Бочонок примем за 1. Поскольку муж выпивает его за 14 дней, то в день выпивает 1/14. Вдвоём за один день выпивают 1/10. Вычтем, чтобы узнать, какую долю бочонка жена пьет за день: 1/10 – 1/14 = 1/35. Но если она в день выпивает 1/35 долю, то весь бочонок выпьет за 35 дней. Ответ: 35.

Артели косцов надо скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам, первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще осталась часть луга, скошенного на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение старинной задачи с дробями

За единицу (1) примем дневной объем работы  артели. Если косцов, к примеру, 10, то на одного человека приходится в день 1/10 часть работы. Т.е. если мы узнаем, какая часть работ приходится на одного, то будем знать число косцов. А в условиях задачи есть такой участок, это луг, скошенный на второй рабочий день.

1. Первую половину дня все работали на первом поле, естественно, они сделали 1/2 всей работы. Во второй половине дня на этом поле работало пол артели и поэтому сделали в 2 раза меньше – 1/4. Всего первое поле составляет 1/2 + 1/4 = 3/4. Т.е. первое поле – это 3/4 от всей работы артели за день.

2. На втором поле в тот день сделано 1/4 – здесь пол артели работало пол дня. Заметим, мы учли весь дневной объем работ, проверим: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1.

На второй день осталась дневная норма одного косца. Теперь известно, что первое поле в 2 раза больше второго, т.е. 3/4 = 2*(1/4 + доля одного работника). Отсюда доля одного работника = 3/4 * 1/2 – 1/4 = 1/8.
Ответ: в артели 8 косцов.

Старик распорядился, чтобы после его смерти три сына  поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний – треть,  младший – девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья не смогли поделить наследство и обратились к пастуху, который славился своей мудростью. Пастух рассказал, как поделить наследство по завещанию. А как бы вы поделили наследство?

Решение старинной задачи.

Математически всё наследство равно сумме 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18. Это число примем за единицу. За 17 верблюдов. Вот как возможно в математике: и дробь 17/18 равна единице и число 17 тоже равно единице! Если нет страха перед такой идеей, то легко решить задачу.
Старший сын получит 1/2 * 17 : 17/18 = 9 верблюдов.
Второй сын 1/3 * 17 : 17/18 = 6 верблюдов.
Младший 1/9 * 17 : 17/18 = 2.

Эти формулы очевидны при составлении следующих пропорций.
Например, для старшего сына:
17/18 составляет 17 верблюдов, а
1/2       ——–         х

Отсюда: х= 1/2 * 17 : 17/18 = 9
А все вместе получат 9+6+2=17. Что и нужно.