Старинная задача Л.Н. Толстого

Старинная задача с дробями

Артели косцов надо скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам, первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще осталась часть луга, скошенного на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение старинной задачи с дробями

За единицу (1) примем дневной объем работы  артели. Если косцов, к примеру, 10, то на одного человека приходится в день 1/10 часть работы. Т.е. если мы узнаем, какая часть работ приходится на одного, то будем знать число косцов. А в условиях задачи есть такой участок, это луг, скошенный на второй рабочий день.

1. Первую половину дня все работали на первом поле, естественно, они сделали 1/2 всей работы. Во второй половине дня на этом поле работало пол артели и поэтому сделали в 2 раза меньше – 1/4. Всего первое поле составляет 1/2 + 1/4 = 3/4. Т.е. первое поле – это 3/4 от всей работы артели за день.

2. На втором поле в тот день сделано 1/4 – здесь пол артели работало пол дня. Заметим, мы учли весь дневной объем работ, проверим: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1.

На второй день осталась дневная норма одного косца. Теперь известно, что первое поле в 2 раза больше второго, т.е. 3/4 = 2*(1/4 + доля одного работника). Отсюда доля одного работника равна = 3/4 * 1/2 – 1/4. Выполняем последние действия с дробями, находим 1/8.
Ответ: в артели 8 косцов.

Запись опубликована в рубрике Арифметика с метками , , . Добавьте в закладки постоянную ссылку.

Один комментарий на «Старинная задача Л.Н. Толстого»

  1. Carl говорит:

    The paragon of understanding these issues is right here!
    ——————-
    Совершенный образец понимания этих вопросов прямо здесь!

  2. силантий говорит:

    Автор! Научи такие решать задачи.
    С другой стороны, а нафига мне это? Тридцать лет прожил, не понадобились дроби.

  3. Семён говорит:

    Предлагаю решение.
    1– за единицу возьмём часть поля, скашиваемое одним косцом за день.
    k – площадь, скашиваемая k косцами за день. Наша артель – это k косцов.
    Теперь:
    k/2 – скошено всеми косцами за первую половину дня.
    k/4 – столько скошено на первом поле после полудня
    k/4 – столько же скошено на втором поле
    1 – скошено во второй день
    Площадь первого поля равна = k/2 + k/4
    Площадь второго поля равна = k/4 + 1
    Известно: первое поле вдвое больше второго:
    k/2 + k/4 = 2*( k/4 + 1)= k/2 + 2
    Отсюда: k/4 = 2; k = 8
    Ответ: 8 косцов.

    • сергей говорит:

      Понял тебя! Задача рассказывает о площадях и косцах. Твоя фишка – ты сумел отождествить людей и площади. И рассказ о площадях стал рассказом о людях. Задача решена!
      Когда же появится устное решение?
      В старину решали устно!

  4. Семён говорит:
    Устное решение появляется, когда мы сообразим, что в артели четное число косцов (ибо написано: «артель разделилась пополам»).
    Мы начнём перебирать: 2 косца, 4, 6, 8 – и на четвёртом шаге задачу решим!
    Введём понятие нормы – это площадь, скашиваемая одним косцом за день.
    Если косцов k, то они скосили на первом поле до обеда k/2 норм и после обеда половина артели скосила k/4 норм.
    Площадь первого поля равна S1 = k/2 + k/4.
    Величину k/2 + k/4 подсчитывать устно совершенно не сложно.
    Площадь второго поля равна S2 = k/4 + 1. И эту величину просто подсчитать.
    Проверяем: второе поле должно быть вдвое меньше первого.
    Итак:

    Число косцов S1 S2 Примеч.
    В артели 2 человека? S1 = 1 + 0,5 = 1,5 S2 = 0,5 +1 = 1,5 нет
    4 человека? S1 = 2 + 1 = 3 S2 = 1 +1 = 2 нет
    6 человек? S1 = 3 + 1,5 = 4,5 S2 = 1,5 +1 = 2,5 нет
    8 человек? S1 = 4 + 2 = 6 S2 = 2 + 1 = 3 Да!

    В итоге: Первое поле – это 6 норм. Один косец его скосит за 6 дней, а 6 косцов за день. Но фактически полдня его косили 8 человек, и полдня 4 чел.
    Второе поле – 3 нормы. Поле косили: полдня 4чел и сделали 2 нормы, а затем 1чел косил полный день.

  5. admin говорит:
    После устного решения появляется вопросы: все ли решения найдены? а если у задачи несколько решений…?
    Полную ясность дадут графики работ
    на первом лугу: у1(х) = ½ х + ¼ х = ¾ х
    на втором лугу у2(х) = ¼ х +1
    х – численность косцов.
    На рисунке:
    у1(х) – это график скошенных площадей на первом лугу при заданном порядке работы людей.
    у2(х) – соответственно для второго луга.
    grafic
    Мы видим при х=2, графики пересекаются в точке (2;1.5) – площади лугов равны.
    При х=8 площадь первого луга вдвое больше второго луга, точки (8;3) и точка (8;6).
    А что дальше?
    Если в артели 20 человек, площадь первого луга будет больше второго в 2,5 раза.
    И хотя графики уходят в бесконечность, площадь первого луга никогда не станет больше второго в 3 раза.
    Доказательство этому предел lim, решение которого дано на рисунке.

    *********************

  6. жора говорит:
    Эту задачу придумал примерно в 1900 году студент Московского университета Петров, который рано умер. Лев Толстой узнал о задаче от писателя И.И. Раевского и профессора В.Я. Цингера. Л.Толстой считал эту задачу весьма сложной, но она имеет простое решение. Вот то решение, которое знал Л.Толстой.
     poleНарисуем два луга, один больше другого вдвое.
    Своей работой артель поделила первый луг на три равные части: там работала вся артель полдня, а вторую половину дня работало пол артели. Это значит, что половина артели за полдня скашивает 1/3 луга. Отметим это на чертеже.
    Очевидно, что на втором поле половина артели за полдня тоже скосила площадь, равную 1/3 первого поля.
    Это означает: оставшийся участок второго луга равен 1/6.
    И это норма одного косца за день.
    Узнаем, сколько таких норм скосила артель за первый день.
    Очевидно, что артель за день скосила четыре раза по 1/3.
    Сделаем преобразования:
    4 * 1/3 = 4/3 = 8/6.
    Поскольку норма равна 1/6. То за день скошено 8 норм.
    Ответ: в артели 8 человек.
  7. St.Fup говорит:

    we are the same tasks in canada!
    ————–
    В Канаде мы такие же решаем задачи!

  8. Rup говорит:

    Лев Толстой гений в литературе, гений-мыслитель, гений в культуре. Но у него не ладилось с религией и с женой.

  9. Matt говорит:

    Это задача базовая. Есть ряд основных задач, решение которых надо знать. Так как они помогают решать все прочие задачи. Они дают метод.
    Теория и практика – противоположности. Так вот решение базовых задач – это тоже самое, что теория

  10. Гарри говорит:

    Старинная задача №38
    За 1000руб куплено 44 коровы — по 18 р. и по 26 р. Сколько тех и других в отдельности?

    • Дм.Сёмин говорит:

      я решил! глядя в таблицу умножения. Важны только последние цифры в числах, которые участвуют. Выходим на три пары коров: 8-36, 18-26, 28-16.
      Остаётся проверить – какая пара даст 1000 рублей. Искомый ответ 18-26. Проверим: 18 * 18руб + 26*26руб = 324 + 676 = 1000руб.

  11. kod888 говорит:

    таких задач сотни и тысячи – неужели их надо все решать?

  12. Clinton говорит:

    Старинная задача №37
    Сколько надо взять карамели по 16руб и по 9руб, чтобы составить 21 кг смеси по цене 11руб за кг.

    • серж говорит:
      Ответ: 6 кг и 15 кг. Это составит 21 килограмм конфет стоимостью
      6 * 16 + 15 * 9 = 231 рублей. Цена за 1 кг составит 231 : 21 = 11 рублей
  13. Georg говорит:

    так нечестно. Покажи, как решил! Докажи, что со смекалкой!
    Ты же мог взять х и у – составить уравнения. А это у нас не в счёт!

    • серж говорит:

      задачу легче решить, чем объяснить…
      Возьми то, что дано: 21 * 11 – это стоимость смеси. разложи её на сумму сомножителей чисел 9 и 16. Ты понял, что я сказал?
      причём сумма сомножителей должна быть 21.
      делаем: 21 * 11 = (16 + 5)*(9 + 2) = 16 * 9 + 2 * 16 + 55.
      Проблема с числом 55, его надо загнать или в сомножитель числа 9 или в сомножитель числа 16. Смотрим кратные числа 16: это 16, 32, 48, 64 стоп! Если к 55 добавить 9 получим 64! Ура! решаем дальше:
      = 16*9 + 2*16 + 55 = 15*9 + 2*16 + 64 = 15*9 + 2*16 + 4*16 = 15*9 + 6*16
      Получилось!

  14. Hort говорит:

    а что – Лев Толстой математикой увлекался?
    Так Карл Маркс тоже любил порешать, когда уставал от пролетариата

  15. Hort говорит:

    Старинная задача №8 В театре билеты первого ряда стоят по 5 рублей, второго ряда по 3–60, третьего по 3–00 и четвертого по 2–40.
    Известно: за каждый ряд получены одинаковые суммы денег;
    на первый, второй и третий ряды продано на 71 билет больше, чем на четвертый ряд.
    Спрашивается: сколько выручено от продажи всех билетов?

  16. Жора говорит:

    Прекрасно! Спорим на 1000 руб – ключ к решению – это наименьшее общее кратное чисел 50, 36, 30, 24. Найдешь НОК – решишь задачу!

  17. Жора говорит:

    Правильно! НОК = 1800. Переведём в рубли – 180 рублей. Это сумма билетов по рядам.
    Всего 4 ряда: 180 * 4 = 720 рублей – это выручка театра за спектакль.
    С тебя 1000

  18. серёга говорит:

    ответ сошёлся.
    Ладно, приходи в “Аврору” в 19:30 прокутим 1000
    Странно, что количество билетов не понадобилось?

  19. Жора говорит:

    Именно: “количество билетов не понадобилось“! В этом суть спора и была! Ответом на задачу могли быть: либо НОК, либо другие общие кратные. Так что я рисковал, мог и проиграть.

  20. фартовый говорит:

    Классно, ребята!
    Это образец смекалки!

  21. Bryanka говорит:

    Вот ребята настоящая задача.
    Есть два товара, можно в любой момент купить/продать по текущей стоимости. Их цена часто меняется. Причём, если цена первого растёт, то цена на второй падает. И наоборот.
    Как вложить деньги в эти товары, чтобы с каждым изменением цен становиться богаче?

  22. Nik говорит:

    два положения берём в основу:
    1) чтоб разбогатеть, покупать надо дёшево, продавать дорого.
    2) у стоимости 2 свойства: потребительская стоимость и меновая стоимость.
    так что богатеть можно двояко: денежно и количеством товара.
    ++
    Деньги делим на 3 части: резервный фонд – это Sr
    деньги вложенные в товар1 – S1
    деньги вложенные в товар2 – S2
    …цена меняется. Продаём часть подорожавшего товара: перелив денег в Sr
    И покупаем сколько-то подешевевшего товара.
    ….
    крайний случай – один товар всё время растёт, другой падает в цене.
    Первый товар – дома, недвижимость.
    Второй – земля.
    И тогда скоро все деньги уйдут в землю….мноооого земли!
    Ну и что! будем богаты землёй

    • Bryanka говорит:

      Привет,Nik! Ума палата! Интуицию ты схватил, но принцип ещё не сформулировал.
      Упрости, тебе нужен базовый принцип, простейшая арифметика.
      Что самое главное в этой схеме?

  23. can-can говорит:

    Кто знает?
    Можно ли циркулем и линейкой отмерить отрезок пи?
    Если можно, то решается задача квадратура круга!

  24. Kreml говорит:

    Вот задача №8. В мешке – белые и чёрные камни: на один чёрный приходится 8 белых. Если не глядя вытащить 100 камней, то чёрные обязательно будут. Сколько всего камней в мешке?

Оставить комментарий

Ваш email не будет опубликован. Обязательные поля отмечены *

Лимит времени истёк. Пожалуйста, перезагрузите CAPTCHA.

Вы можете использовать это HTMLтеги и атрибуты: <a href="" title=""> <abbr title=""> <acronym title=""> <b> <blockquote cite=""> <cite> <code> <del datetime=""> <em> <i> <q cite=""> <strike> <strong>