Часть 2. Обобщим задачу. Теперь у нас три натуральных числа: n-1,n,n+1.
Уже нам понятно: величина n/(n+1) растёт при n →∞
(n-1)/n < n/(n+1) < (n+1)/(n+2) < (n+2)/(n+3)... и так далее.
Применим калькулятор:
При n=100 имеем: 100/101 = 0,990099….
При n=1000 имеем: 1000/1001 = 0,9990000999….
Дроби растут, они всё ближе и ближе к 1,0.

Часть 3. Делаем ещё шаг обобщения, переходим от натуральных чисел к вещественным, от формул к функциям:
у(х) = (х-1)/х = 1 – 1/х, рассматриваем только случай х>0.
Нарисуем то, что нам теперь более-менее понятно:

Часть 4. Каков смысл того, что мы сегодня рассмотрели? Всякое число это точка в пространстве, а точка – часть линии, часть процесса. И многие процессы бесконечны. Но формулы укрощают бесконечное. Математика – узда для многого из того, что неясно и непонятно!

**********Декабрь 2024г.***********

Из двух деревень навстречу друг другу на рассвете одновременно вышли две старушки. В полдень они встретились и продолжили свой путь. Одна пришла в конечный пункт в 4 часа дня, а вторая в 9 вечера. Вопрос: во сколько рассвело в этот день?

Эта задача в интернете решалась очень долго, поскольку назначалась для третьеклассников. Наконец, появились сложные математические решения с ответами: “рассвет был в 6 часов утра”.
Наблюдать решение этой задачи было удивительно. Ведь очевидно, задача – это рассказ о наших бабушках и дедушках, которые “вставали с петухами, ложились с курами”.
Задача требует точных определений: что есть рассвет (утро), полдень, вечер?

Рассвет — раннее утреннее время, время восхода Солнца.
Полдень – это половина светового дня, этот момент принято считать в 12:00 по местному времени, но реально он наступает и раньше, и позже. В среднем солнечный полдень наступает в 12:30.
Вечер — время суток, предшествующее ночи; также это достижение Солнцем горизонта, начало сумерек

Старушки встали с рассветом и сразу отправились в путь, в полдень встретились (примем это за 12:30), до самого заката шла только одна из них – она шла до 21:00. Значит от полдня до вечера прошло 8 часов 30 минут.
Когда же Солнце встало? Это произошло 12:30 – 8:30 = 4:00, т.е. в 4 часа утра.
Например, 10 июля 2024 года в Челябинске восход солнца в 3:59, заход в 21:09.
Это не задача по арифметике, это воспоминания и размышления об ушедшем образе жизни, когда люди с солнцем вставали, принимались за дела и делали их до заката. Они “были счастливы, жили долго и умирали в один день”, – а это уже другая загадка нашей расы. Супруги умели создавать единую (одну на двоих) жизненную силу, когда она кончалась, тогда и умирали.
В 6 часов солнце встаёт в марте. Снег ещё лежит, гололёд, морозы по утрам…, а безжалостные математики в такую пору отправили старушек на весь день в поход!

**********Март 2024г.***********

Два приятеля-туриста сварили кашу: первый дал 200 грамм крупы, второй 300 грамм. Когда каша была готова, к ним присоединился прохожий и ел вместе с ними. Уходя, он оставил им за еду 50 рублей. Как приятели должны поделить между собой деньги?

Решение. Считаем: каждый из трёх съел по 500/3.
Первый турист сам съел 500/3, и прохожему от него досталось: 200 – 500/3 = (3 * 200 – 500)/3 = 100/3.
Соответственно, от второго туриста прохожему досталось: 300 – 500/3 = (3 * 300 – 500)/3 = 400/3.
Очевидно, что деньги следует поделить так: 10 рублей дать первому приятелю и 40 рублей второму.

Хозяин, умирая, оставил завещание. Жена его была беременна, и завещание гласило: если жена родит дочь, то 2/3 достаётся жене, 1/3 дочери. Если родится сын, то жене отдать 1/3, сыну 2/3.
Жена родила двойню: сына и дочь. Как поделить наследство?

“Историческое” решение.

Эта задача восходит к Древнему Риму. Римский юрист Сальвий Юлиан во 2 веке до н.э. предложил имущество разделить на семь частей. Сыну отдать четыре части, матери – две, дочери – одну. В соответствии с завещанием сын получит вдвое больше, чем мать. Мать получит вдвое больше, чем дочь.

“Протестное” решение.

Представьте ситуацию.
Решение Сальвия Юлиана принято. Но скоро в суд поступили протест и заявление с таким предложением:
1) Завещание не предполагает деления имущества на три части. Завещание предлагает механизм деления имущества между матерью и сыном, и между матерью и дочерью.
2) Когда хозяин умер, но женщина не родила, то она одна владеет всем имуществом. Оно и делится между будущими наследниками.
3) Первым из двойни, к примеру, родился сын. Немедленно исполняется воля умершего: сыну отписывается 2/3 имущества, матери 1/3.
4) Через несколько минут рождается дочь. Но теперь делится имущество, принадлежащее только матери. В итоге достаётся 2/9 матери, 1/9 дочери.

В результате. Первоначальное имущество поделено на 9 частей. 6 из них отдаётся сыну, 2 матери, 1 часть дочери.
Какое же решение старинной задачи правильно?
Римского юриста Юлиана? Или “протестное”?
И возможны ли другие решения?

Двенадцать человек несут 12 хлебов. Каждый мужчина несет по два хлеба, женщина по половине хлеба, ребенок несет по четверти хлеба. В переносе участвуют 12 человек. Сколько среди них мужчин, женщин, детей?

Решение старинных задач занимательно не тем, чтобы их решить. А решить старинным способом. Без алгебры. Без уравнений и переменных. Решить с выдумкой. Найти решение остроумное, простое, устное.

Современное решение №1

Современное решение – это написать программу на бэйсике (здесь: i – количество мужчин, j – женщин, k -детей).

cls
for i=1 to 10
for j=1 to 10
for k=1 to 10
if (2*i+0.5*j+0.25*k = 12) then ? i,j,k,(i+j+k)
next
next
next
end

Программа выводит на монитор таблицу всех вариантов переноса 12 хлебов. Для переноски требуется от 10 до 20 человек. Искомые 12 человек это: 5 мужчин, 1 женщина, 6 детей.
И этот вариант единственный.

Современное решение №2

Другое современное решение – составить уравнение. За единицу примем четвертинку хлеба (чтобы решать в целых числах), 12 хлебов это 48 четвертинок, тогда:

8*i +2*j + k = 48
i + j + k = 12
Т.к. система двух уравнений с тремя переменными не решается, то решение сведем к двум переменными. Заметим, что мужчин требуется не более 5, т.к. 6 мужчин унесли бы все 12 хлебов. Поэтому решим по-порядку пять систем уравнений.

1) Мужчин – пятеро. i = 5

2*j + k =8
j + k = 7
получаем решение: i = 5, j = 1, k = 6. Всего – 12 человек.

Следующий случай.
2) Мужчин – четверо. i = 4

2*j + k =16
j + k = 8
получаем решение: i = 4, j = 8, k = 0. Случай невозможный. Нет детей.

3) Мужчин – трое. i = 3

2*j + k = 24
j + k = 9
получаем решение: i = 3, j = 15, k = -6. Случай также невозможный.

Два последних случая не рассматриваем, т.к. величина k уйдёт ещё в больший минус. Так что алгебра тоже дала единственное решение. Такое же, как компьютер.

Хлеб и дети

Решение задачи на смекалку

Как же наши прадеды решали эту задачу, не имея компьютеров, не используя алгебру?

За счет смекалки! Ключ к решению – дети! Их должно быть четное число! Мои читатели – вы все согласны? Далее, если детей будет 2 или 6, то число женщин должно быть нечетным. А если детей 4 или 8, то число женщин четное. Иначе четвертинки и половинки не сложатся в полные буханки. Имеем также ввиду, сколько бы не было мужчин, они несут четное число хлебов. Кто это сообразил, тот и решил. Подсчеты просты для устного счета. На девятом шаге мы находим решение задачи.

Результат такой же! Требуется 6 детей, 1 женщина, 5 мужчин.

Муж выпивает бочонок кваса за 14 дней, вдвоём с женой они выпивают этот же бочонок за 10 дней. Нужно узнать, за сколько дней жена одна выпьет бочонок кваса.

Решение старинной задачи с дробями

Бочонок примем за 1. Поскольку муж выпивает его за 14 дней, то в день выпивает 1/14. Вдвоём за один день выпивают 1/10. Вычтем, чтобы узнать, какую долю бочонка жена пьет за день: 1/10 – 1/14 = 1/35. Но если она в день выпивает 1/35 долю, то весь бочонок выпьет за 35 дней. Ответ: 35.

Артели косцов надо скосить два луга, один вдвое больше другого. Половину дня артель косила большой луг. После этого артель разделилась пополам, первая половина осталась на большом лугу и докосила его к вечеру до конца; вторая же половина косила малый луг, на котором к вечеру еще осталась часть луга, скошенного на другой день одним косцом за один день работы. Сколько косцов было в артели?

Решение старинной задачи с дробями

За единицу (1) примем дневной объем работы  артели. Если косцов, к примеру, 10, то на одного человека приходится в день 1/10 часть работы. Т.е. если мы узнаем, какая часть работ приходится на одного, то будем знать число косцов. А в условиях задачи есть такой участок, это луг, скошенный на второй рабочий день.

1. Первую половину дня все работали на первом поле, естественно, они сделали 1/2 всей работы. Во второй половине дня на этом поле работало пол артели и поэтому сделали в 2 раза меньше – 1/4. Всего первое поле составляет 1/2 + 1/4 = 3/4. Т.е. первое поле – это 3/4 от всей работы артели за день.

2. На втором поле в тот день сделано 1/4 – здесь пол артели работало пол дня. Заметим, мы учли весь дневной объем работ, проверим: 1/2 + 1/4 +1/4 = 1.

На второй день осталась дневная норма одного косца. Теперь известно, что первое поле в 2 раза больше второго, т.е. 3/4 = 2*(1/4 + доля одного работника). Отсюда доля одного работника = 3/4 * 1/2 – 1/4 = 1/8.
Ответ: в артели 8 косцов.

Старик распорядился, чтобы после его смерти три сына  поделили принадлежащее ему стадо верблюдов так, чтобы старший взял половину всех верблюдов, средний – треть,  младший – девятую часть всех верблюдов. Старик умер и оставил 17 верблюдов. Сыновья не смогли поделить наследство и обратились к пастуху, который славился своей мудростью. Пастух рассказал, как поделить наследство по завещанию. А как бы вы поделили наследство?

Решение старинной задачи.

Математически всё наследство равно сумме 1/2 +1/3 + 1/9 = 17/18. Это число примем за единицу. За 17 верблюдов. Вот как возможно в математике: и дробь 17/18 равна единице и число 17 тоже равно единице! Если нет страха перед такой идеей, то легко решить задачу.
Старший сын получит 1/2 * 17 : 17/18 = 9 верблюдов.
Второй сын 1/3 * 17 : 17/18 = 6 верблюдов.
Младший 1/9 * 17 : 17/18 = 2.

Эти формулы очевидны при составлении следующих пропорций.
Например, для старшего сына:
17/18 составляет 17 верблюдов, а
1/2       ——–         х

Отсюда: х= 1/2 * 17 : 17/18 = 9
А все вместе получат 9+6+2=17. Что и нужно.